Один долгожитель, которому за 100 лет, заметил, что если к сумме квадратов цифр его возраста добавить дату его рождения ( натуральное число, не большее 31), то получится его возраст. Сколько лет долгожителю?
Один долгожитель, которому за 100 лет, заметил, что если к сумме квадратов цифр его возраста добавить дату его рождения ( натуральное число, не большее 31), то получится его возраст. Сколько лет долгожителю?
Давайте обозначим возраст долгожителя за ( x ), а дату его рождения за ( y ).
У нас есть условие:
[ x^2 + y = x ]
Так как возраст долгожителя больше 100 лет, то ( x \geq 100 ), а также дата рождения ( y ) не больше 31. Таким образом, у нас есть следующие ограничения:
[ 100 \leq x \leq 999 ] [ 1 \leq y \leq 31 ]
Теперь будем перебирать все возможные значения ( x ) от 100 до 999 и соответствующие значения ( y ) от 1 до 31, чтобы найти подходящий возраст.
После проверки всех значений при ( x = 144 ) и ( y = 12 ) мы получаем:
[ 144^2 + 12 = 20736 + 12 = 20748 ]
Таким образом, долгожителю, которому за 144 года, можно удовлетворить данное условие.
Давайте рассмотрим задачу более подробно.
Пусть возраст долгожителя равен ( x ), а дата его рождения — ( y ), где ( 1 \leq y \leq 31 ).
Согласно условию задачи, если к сумме квадратов цифр возраста ( x ) добавить дату его рождения ( y ), то получится сам возраст ( x ):
[ S(x) + y = x ]
где ( S(x) ) — это сумма квадратов цифр возраста ( x ).
Перепишем уравнение:
[ S(x) = x - y ]
Поскольку долгожителю больше 100 лет, ( x \geq 100 ).
Теперь давайте попробуем найти возраст ( x ), который удовлетворяет этому уравнению.
Рассмотрим возраст 100 лет:
[ S(100) = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 ]
Подставим в уравнение:
[ 1 + y = 100 \implies y = 99 ]
Это не подходит, так как ( y ) не может быть больше 31.
Рассмотрим возраст 101 год:
[ S(101) = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2 ]
Подставим в уравнение:
[ 2 + y = 101 \implies y = 99 ]
Это тоже не подходит.
Рассмотрим возраст 102 года:
[ S(102) = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5 ]
Подставим в уравнение:
[ 5 + y = 102 \implies y = 97 ]
Это также не подходит.
Рассмотрим возраст 110 лет:
[ S(110) = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 ]
Подставим в уравнение:
[ 2 + y = 110 \implies y = 108 ]
Это тоже не подходит.
Рассмотрим возраст 130 лет:
[ S(130) = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10 ]
Подставим в уравнение:
[ 10 + y = 130 \implies y = 120 ]
Это также не подходит.
Теперь попробуем возраст 145:
[ S(145) = 1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42 ]
Подставим в уравнение:
[ 42 + y = 145 \implies y = 103 ]
Это также не подходит. Давайте попробуем другой возраст.
Теперь попробуем возраст 130:
[ S(130) = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 10 ]
Подставим в уравнение:
[ 10 + y = 130 \implies y = 120 ]
Это также не подходит. Давайте попробуем другой возраст.
Теперь попробуем возраст 124:
[ S(124) = 1^2 + 2^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21 ]
Подставим в уравнение:
[ 21 + y = 124 \implies y = 103 ]
Это также не подходит.
Если попробовать 110:
[ S(110) = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 ]
Подставим в уравнение:
[ 2 + y = 110 \implies y = 108 ]
Это также не подходит.
Вернемся к возрасту 130:
[ S(130) = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10 ]
Подставим в уравнение:
[ 10 + y = 130 \implies y = 120 ]
Это также не подходит.
Таким образом, рассмотрим 113:
[ S(113) = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 1 + 1 + 9 = 11 ]
Подставим в уравнение:
[ 11 + y = 113 \implies y = 102 ]
Это также не подходит.
Вернемся к возрасту 104:
[ S(104) = 1^2 + 0^2 + 4^2 = 1 + 0 + 16 = 17 ]
Подставим в уравнение:
[ 17 + y = 104 \implies y = 87 ]
Это также не подходит.
Таким образом, можем заметить, что 108:
[ S(108) = 1^2 + 0^2 + 8^2 = 1 + 0 + 64 = 65 ]
Подставим в уравнение:
[ 65 + y = 108 \implies y = 43 ]
Это также не подходит.
Таким образом, 109:
[ S(109) = 1^2 + 0^2 + 9^2 = 1 + 0 + 81 = 82 ]
Подставим в уравнение:
[ 82 + y = 109 \implies y = 27 ]
Это подходит. Долгожителю 109 лет.
