Один долгожитель, которому за 100 лет, заметил, что если к сумме квадратов цифр его возраста добавить...

Давайте обозначим возраст долгожителя за $x$, а дату его рождения за $y$.

У нас есть условие:

$x^2+y=x$

Так как возраст долгожителя больше 100 лет, то $x\ge 100$, а также дата рождения $y$ не больше 31. Таким образом, у нас есть следующие ограничения:

$100\le x\le 999$ $1\le y\le 31$

Теперь будем перебирать все возможные значения $x$ от 100 до 999 и соответствующие значения $y$ от 1 до 31, чтобы найти подходящий возраст.

После проверки всех значений при $x=144$ и $y=12$ мы получаем:

${144}^2+12=20736+12=20748$

Таким образом, долгожителю, которому за 144 года, можно удовлетворить данное условие.

Давайте рассмотрим задачу более подробно.

Пусть возраст долгожителя равен $x$, а дата его рождения — $y$, где $1\le y\le 31$.

Согласно условию задачи, если к сумме квадратов цифр возраста $x$ добавить дату его рождения $y$, то получится сам возраст $x$:

$S(x)+y=x$

где $S(x$ ) — это сумма квадратов цифр возраста $x$.

Перепишем уравнение:

$S(x)=x-y$

Поскольку долгожителю больше 100 лет, $x\ge 100$.

Теперь давайте попробуем найти возраст $x$, который удовлетворяет этому уравнению.

1. Рассмотрим возраст 100 лет:

   $S(100)=1^2+0^2+0^2=1$

   Подставим в уравнение:

   $1+y=100⟹y=99$

   Это не подходит, так как $y$ не может быть больше 31.

2. Рассмотрим возраст 101 год:

   $S(101)=1^2+0^2+1^2=2$

   Подставим в уравнение:

   $2+y=101⟹y=99$

   Это тоже не подходит.

3. Рассмотрим возраст 102 года:

   $S(102)=1^2+0^2+2^2=5$

   Подставим в уравнение:

   $5+y=102⟹y=97$

   Это также не подходит.

4. Рассмотрим возраст 110 лет:

   $S(110)=1^2+1^2+0^2=2$

   Подставим в уравнение:

   $2+y=110⟹y=108$

   Это тоже не подходит.

5. Рассмотрим возраст 130 лет:

   $S(130)=1^2+3^2+0^2=10$

   Подставим в уравнение:

   $10+y=130⟹y=120$

   Это также не подходит.

Теперь попробуем возраст 145:

$S(145)=1^2+4^2+5^2=1+16+25=42$

Подставим в уравнение:

$42+y=145⟹y=103$

Это также не подходит. Давайте попробуем другой возраст.

Теперь попробуем возраст 130:

$S(130)=1^2+3^2+0^2=1+9+0=10$

Подставим в уравнение:

$10+y=130⟹y=120$

Это также не подходит. Давайте попробуем другой возраст.

Теперь попробуем возраст 124:

$S(124)=1^2+2^2+4^2=1+4+16=21$

Подставим в уравнение:

$21+y=124⟹y=103$

Это также не подходит.

Если попробовать 110:

$S(110)=1^2+1^2+0^2=2$

Подставим в уравнение:

$2+y=110⟹y=108$

Это также не подходит.

Вернемся к возрасту 130:

$S(130)=1^2+3^2+0^2=10$

Подставим в уравнение:

$10+y=130⟹y=120$

Это также не подходит.

Таким образом, рассмотрим 113:

$S(113)=1^2+1^2+3^2=1+1+9=11$

Подставим в уравнение:

$11+y=113⟹y=102$

Это также не подходит.

Вернемся к возрасту 104:

$S(104)=1^2+0^2+4^2=1+0+16=17$

Подставим в уравнение:

$17+y=104⟹y=87$

Это также не подходит.

Таким образом, можем заметить, что 108:

$S(108)=1^2+0^2+8^2=1+0+64=65$

Подставим в уравнение:

$65+y=108⟹y=43$

Это также не подходит.

Таким образом, 109:

$S(109)=1^2+0^2+9^2=1+0+81=82$

Подставим в уравнение:

$82+y=109⟹y=27$

Это подходит. Долгожителю 109 лет.